Fondements Théoriques de la Plasticité

Quiberon 14-19 sept. 2026

15^ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

Intitulés et résumés des cours

Patrick Ballard
Plasticité et discontinuités.
Plasticité et discontinuités.

Ce cours concerne l'analyse des équations de l'élastoplasticité parfaite quasi-statique en transformation infinitésimale. Il mettra en évidence la structure sous-jacente de problèmes de minimisation paramétrés par le temps, tant pour le champ de contrainte que pour le couple (champ de déplacement, champ de déformation plastique). Cette structure variationnelle est partagée avec plusieurs autres problèmes d'évolution quasi-statique en mécanique des solides, qui sont tous invariants par reparamétrage monotone du temps. Pour chacun de ces problèmes, l'analyse de la structure variationnelle sous-jacente permet de prédire et expliquer une phénoménologie spécifique, pouvant inclure l'apparition spontanée de discontinuités en espace et/ou en temps.

Dans le cas de l'élastoplasticité parfaite quasi-statique, on verra que la structure variationnelle sous-jacente permet de prédire et comprendre les propriétés suivantes des solutions du problème d'évolution quasi-statique.
- Unicité du champ de contrainte, non-unicité en général du champ de déplacement.
- Apparition spontanée de surfaces de discontinuités tangentielles (bandes de cisaillement), tant pour le champ de déplacement que pour le champ de vitesse. Absence de mouvement « latéral » des bandes de cisaillement.
- Absence de telles surfaces de discontinuités dans le champ de contrainte, en présence de chargements réguliers.
- Absence de discontinuités spontanées en temps, tant pour le champ de contrainte que pour le champ de déplacement, alors que cela existe dans le cas d'autres problèmes d'évolution quasi-statique en mécanique des solides (rupture fragile quasi-statique ou frottement). Cela rend compte du caractère macroscopiquement « silencieux » de l'élastoplasticité.
L'analyse repose sur l'utilisation de plusieurs théories mathématiques dont on essaiera de rendre compte des concepts et résultats essentiels.
- Cours 1. Formulations variationnelles en déplacement et en contrainte pour l'élastostatique linéarisée. Question de l'existence de minimiseur. Méthode directe du calcul des variations. Compacité, coercivité et semicontinuité inférieure. Topologies faible et faible étoile. Relaxation.
- Cours 2. Évolution du champ de contrainte en élastoplasticité parfaite. Fonctions convexes, sous-différentiels, dualité de Legendre-Fenchel. Processus de rafle par un convexe mobile. Théorie ensembliste de la mesure. Théorème de représentation de Riesz et lien avec la théorie des distributions. Variation totale. Théorème de Lebesgue-Radon-Nikodym. Fonctions à variation bornée sur un intervalle réel. Décomposition en parties absolument continue, saut et Cantor. D'après Jean Jacques Moreau.
- Cours 3. Formulation variationnelle en déplacement pour l'élastoplasticité parfaite sur un pas de temps (plasticité de Hencky). Nécessité de plonger H¹ dans BD (espace des champs de déplacement à déformation bornée). Relaxation de la condition à la limite en déplacement et interprétation mécanique. Condition de charge sure et existence de minimiseur. Structure fine des champs de déplacement à déformation bornée : décomposition de la déformation en parties absolument continue, saut et Cantor. D'après Pierre Suquet et Roger Temam.
- Cours 4. Formulation variationnelle incrémentale en déplacement et déformation plastique pour l'élastoplasticité parfaite quasi-statique (plasticité de Prandtl-Reuss). Existence d'une évolution limite en temps continu. Régularité des solutions et formulations locales. Analyse phénoménologique des sauts spontanés en espace du champ de déplacement (bandes de cisaillement) et de leur évolution en temps. Exemples montrant le caractère inévitable des sauts spontanés en espace du champ de déplacement, ainsi que la non-unicité de solution en déplacement. D'après Gianni Dal Maso, Antonio DeSimone & Maria Giovanna Mora.
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Stéphane Berbenni

Théorie continue des défauts cristallins et champs mécaniques.

Marc Fivel

Dynamique des dislocations et plasticité du monocristal.

Ce cours rappellera le concept de dislocation, et la manière de simuler leur comportement dynamique et leur auto-organisation en deux et trois dimensions dans des cas de chargement simples et pour différentes cristallographies. Le cours sera illustré par des modélisations discrètes de type dynamiques moléculaire et dynamique des dislocations. Une transition d’échelle sera ensuite proposée pour construire une modélisation à l’échelle des milieux continus de la plasticité cristalline des métaux CFC. Ce modèle continu utilise la densité de dislocations comme variable interne et chacune des équations de la loi de comportement sera établie à partir du mouvement individuel des lignes de dislocations. Pour terminer, des modèles continus généralisés prenant en compte le gradient de la déformation afin de simuler des effets de tailles seront présentés et comparés à des simulations 3D de dynamique des dislocations.

Cours 1 : Le concept des dislocations.
Nous mettrons en évidence le concept des dislocations et revisitant notamment : le vecteur de Burgers, la force de Peach-Koehler et son lien avec le chargement mécanique, la dissociation en partielles, les mécanismes thermiquement activés tels que le glissement dans les structures cubiques centrés, le glissement dévié et la montée.
Cours 2 : Modélisation de la dynamique des dislocations.
Les modélisations 2D et 3D de dynamique des dislocations discrètes seront décrites avec les règles locales qu’elles utilisent. La technique de modélisation par dynamique moléculaire sera également décrite pour justifier de son utilisation lorsque la théorie des dislocations n’est plus valide. Des applications illustrant l’organisation des dislocations sous un chargement en fatigue ou sous une indentation seront présentées.
Cours 3 : Modélisation continue à base de densités de dislocations.
Les 3 relations de comportement décrivant un modèle physique à base de densités de dislocations seront démontrées. Une intégration numérique par élément finis en grandes déformations permettra de retrouver le comportement type d’un monocristal en traction uni-axiale. Des simulations de l’essai de nanoindentation seront confrontées à des essais sur des monocristaux de cuivre orientés.
Cours 4 : Modèles à gradient.
Plusieurs modèles de milieux continus généralisés seront présentés avec des applications tirées de la littérature. Des simulations par dynamique des dislocations discrètes permettront d’identifier l’écrouissage cinématique et une approche par milieu micromorphe sera proposée.

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Pascale Kanouté
Modélisation macroscopique de la plasticité cyclique.
Modélisation macroscopique de la plasticité cyclique.

Ce module est consacré à la formulation de lois de comportement macroscopiques en mécanique des milieux continus, avec un accent particulier sur la plasticité cyclique pour répondre aux exigences de dimensionnement en fatigue. L'objectif principal est de décrire les mécanismes non-linéaire d'écrouissage et d’introduire les formulations considérées en veillant à faire le lien avec la thermodynamique des milieux continus. Les choix de modélisation seront analysés et validés au regard des observations expérimentales. La phase d'identification des paramètres sera également détaillée afin de clarifier les formulations proposées. Le cours s'appuie principalement sur l'hypothèse des petites transformations.
- Cours 1 : Rappels thermodynamiques et construction des lois de comportement.
  Cette séance vise à établir les fondements théoriques nécessaires à la modélisation, en revisitant les principes clés de la thermodynamique des milieux continus. Cette approche permet d'introduire rigoureusement les concepts régissant la construction des lois de comportement. Nous aborderons ensuite les généralités sur les critères de plasticité et la définition de la surface de charge. La notion d'écrouissage sera détaillée, ainsi que la règle de normalité, en distinguant clairement les cas de la plasticité associée et non associée.
- Cours 2 : Plasticité-Viscoplasticité cyclique – modélisation des phénomènes élémentaires.
  Les notions d’écrouissage isotrope et cinématique seront introduites et discutées en détail dans le contexte des chargements cycliques, afin de décrire correctement l'évolution de la surface de plasticité. Seront ensuite analysés les mécanismes de durcissement et d’adoucissement cyclique observés expérimentalement, ainsi que l'influence de la température variable sur les propriétés du matériau. Enfin, le dernier volet de ce cours sera consacré à la viscoplasticité cyclique, permettant de prendre en compte les effets de la vitesse de sollicitation et les phénomènes de fluage associés aux chargements à haute température.
- Cours 3 : Plasticité cyclique – prise en compte des phénomènes complexes.
  Nous nous intéresserons dans ce cours à la description détaillée de phénomènes physiques complexes inhérents au comportement cyclique, tels que l'effet de mémoire de l'amplitude de déformation, le phénomène de rochet et la relaxation de la contrainte moyenne. Au-delà des chargements uniaxiaux classiques, nous aborderons la complexité spécifique des chargements multiaxiaux non proportionnels, qui constituent un défi majeur pour la prédiction précise de la durée de vie des structures. Enfin, différentes approches de modélisation en plasticité, capables de capturer fidèlement ces comportements spécifiques, seront présentées et analysées.
- Cours 4 : Solutions analytiques et méthodologie d’identification.
  Il s'agira dans ce dernier cours, à travers des cas concrets, d'exposer comment peut être mise en place une approche multi-niveaux pour la construction de lois de comportement sous chargement cyclique, en faisant le lien avec la retranscription des phénomènes physiques observés. Nous nous attarderons sur la proposition d'une méthodologie d'identification des modèles en décrivant les solutions analytiques pour différents cas simples de chargement.
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Jean-Jacques Marigo
Les bases de l'élasto-plasticité.
Les bases de l'élasto-plasticité.

Il ne sera question dans mon cours que de la plasticité vue comme une loi de comportement particulière de la mécanique des milieux continus formulée au niveau macroscopique à partir de réponses d'origine expérimentales reliant les contraintes aux déformations. De plus on se limitera au cadre des petites transformations. Les 4 séances de 1h30 seront organisées comme suit.
- Séance 1 : Construction de lois d’élasto-plasticité «standards».
  Dans toute cette séance, on raisonnera sur l’élément de volume. On appuiera la construction des lois sur les modèles rhéologiques à base de ressorts et de patins. On commencera par montrer comment on peut déduire les lois standards, i.e. celles où le domaine d’élasticité est convexe et où la loi d’écoulement plastique suit la règle de normalité, du postulat de Drucker-Ilyushin. On montrera ensuite pourquoi le caractère standard est essentiel pour obtenir des «bonnes» propriétés. On présentera quelques modèles standards classiques tels ceux basés sur les critères de von Mises ou de Tresca, avec ou sans écrouissage (cinématique ou isotrope). On illustrera les propriétés de ces modèles sur des exemples de réponse de l’élément de volume à un processus de chargement.
- Séance 2 : Formulation et résolution de problèmes d’évolution de la plasticité dans une structure soumise à un processus de chargement.
  Ici, on quittera l’élément de volume pour se placer au niveau d’une structure. Après la formulation générale du problème d’évolution, on dégagera quelques propriétés générales à partir du traitement complet de la torsion élasto-plastique d’un cylindre de révolution «plein» ou «creux». On dégagera en particulier les notions d’écrouissage structurel, de charge limite et de contraintes résiduelles. On discutera aussi suivant les cas les questions de l’existence, de l’unicité et de la régularité des solutions.
- Séance 3 : Analyse limite et charges supportables d’une structure faite d’un matériau élasto-plastique «parfait» «standard».
  Les deux dernières séances seront consacrés aux modèles élasto-plastiques parfaits (i.e. sans écrouissage) standards (avec convexité du critère et règle de normalité). En s’appuyant du caractère variationnel des lois standards, on montrera comment on peut caractériser les charges supportables par une structure faite d’un tel matériau. Cette caractérisation sera illustrée sur quelques exemples simples.
- Séance 4 : Bandes de cisaillement et régularité des solutions du problème d’évolution pour une structure faite d’un matériau élasto-plastique «parfait» «standard».
  Partant d’exemples simples montrant la possibilité, voire la nécessité parfois de solutions où le champ des déplacements est discontinu (en espace), on verra comment on peut caractériser l’apparition de ces «bandes de cisaillement». Pour des critères de plasticité «isotropes» (ne dépendant donc que des contraintes principales), on établira que cette caractérisation s’appuie sur la notion de «courbe intrinsèque », elle-même basée sur la représentation de Mohr et les cercles de Mohr. On l’illustrera sur les critères de plasticité classiques (Drucker-Prager, Mohr-Coulomb, …) et on montrera comment s’établit ainsi une «hiérarchie» entre les différents critères, hiérarchie qui s’avérera essentielle quand on complètera les modèles de la plasticité avec de la rupture.
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Prérequis

- Notions de base en algèbre linéaire et en calcul différentiel.
- Connaissances de base en mécanique des milieux continus et en élasticité linéarisée.
Les cours seront conçus de façon à ce que la mise à niveau préliminaire ne soit pas nécessaire. Ils seront ajustés au niveau des connaissances réelles des stagiaires. Les notions mathématiques avancées seront introduites au fur et à mesure des besoins.

Programme

L'arrivée des participants est prévu dimanche le 13 septembre vers le cocktail de bienvenue et le dîner. Le dernier cours aura lieu samedi le 19 septembre avant le déjeuner.

Lundi 14 sept. 2026 09h00-10h30 : Pascale Kanouté 10h45-12h15 : Patrick Ballard 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Stéphane Berbenni 17h45-19h15 : Marc Fivel	Jeudi 17 sept. 2026 09h00-10h30 : Patrick Ballard 10h45-12h15 : Stéphane Berbenni 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Jean-Jacques Marigo 17h45-19h15 : Pascale Kanouté
Mardi 15 sept. 2026 09h00-10h30 : Marc Fivel 10h45-12h15 : Jean-Jacques Marigo 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Patrick Ballard 17h45-19h15 : Stéphane Berbenni	Vendredi 18 sept. 2026 09h00-10h30 : Jean-Jacques Marigo 10h45-12h15 : Marc Fivel 12h15 : Déjeuner 16h00-17h30 : Pascale Kanouté 17h45-19h15 : Patrick Ballard
Mercredi 16 sept. 2026 09h00-10h30 : Jean-Jacques Marigo 10h45-12h15 : Pascale Kanouté 12h15 : Déjeuner	Samedi 19 sept. 2026 08h30-10h00 : Stéphane Berbenni 10h15-11h45 : Marc Fivel 11h45 : Déjeuner