Fondements Théoriques de la Plasticité

Quiberon 14-19 sept. 2026

15^ème école d'été de mécanique théorique à destination des doctorants et chercheurs en Mécanique

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Intitulés et résumés des cours

• Patrick Ballard
  Plasticité et discontinuités.
  Plasticité et discontinuités.
  

  Ce cours concerne l'analyse des équations de l'élastoplasticité parfaite quasi-statique. Il mettra en évidence la structure sous-jacente de problèmes de minimisation paramétrés par le temps, tant pour le champ de contrainte que pour le couple (champ de déplacement, champ de déformation plastique). Cette structure variationnelle est partagée avec plusieurs autres problèmes d'évolution quasi-statique en mécanique des solides, qui sont tous invariants par reparamétrage monotone du temps. Pour chacun de ces problèmes, l'analyse de la structure variationnelle sous-jacente permet de prédire et expliquer une phénoménologie spécifique, pouvant inclure l'apparition spontanée de discontinuités en espace et/ou en temps.

  Dans le cas de l'élastoplasticité parfaite quasi-statique, on verra que la structure variationnelle sous-jacente permet de prédire et comprendre les propriétés suivantes des solutions du problème d'évolution quasi-statique.

  • Unicité du champ de contrainte, non-unicité en général du champ de déplacement.
  • Apparition spontanée de surfaces de discontinuités tangentielles (bandes de cisaillement), tant pour le champ de déplacement que pour le champ de vitesse.
  • Absence de telles surfaces de discontinuités dans le champ de contrainte, en présence de chargements réguliers.
  • Absence de discontinuités spontanées en temps, tant pour le champ de contrainte que pour le champ de déplacement, alors que cela existe dans le cas d'autres problèmes d'évolution quasi-statique en mécanique des solides (rupture fragile quasi-statique ou frottement).

  L'analyse repose sur l'utilisation de plusieurs théories mathématiques dont on essaiera de rendre compte des concepts et résultats essentiels.

  • Fonctions convexes, sous-différentiels, dualité de Legendre-Fenchel.
  • Théorie de la mesure, mesure de variation totale, décomposition de Radon-Nikodym.
  • Fonctions à variation bornée en espace et/ou en temps, champs de déplacement à déformation bornée, description fine de leurs discontinuités.
  • Méthode directe du calcul des variations, semicontinuité inférieure, coercivité, relaxation, existence de minimiseurs.

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• Stéphane Berbenni
Théorie continue des défauts cristallins et champs mécaniques.
Théorie continue des défauts cristallins et champs mécaniques.

Dans cette école d’été sur les Fondements Théoriques de la Plasticité, ce cours décrira les bases de la théorie continue des défauts cristallins, comme les dislocations, dont le mouvement est à l’origine de la déformation plastique. Dans ce cours, les fondements de la théorie continue des défauts cristallins seront abordés en suivant les travaux pionniers d’E. Kröner et de T. Mura, ainsi que ceux plus récents d’A. Acharya, et, des méthodes de calculs des champs mécaniques associés seront présentées.
Le cours se scindera en différentes parties qui seront présentées graduellement sous forme de 4 séances:
• Introduction des défauts cristallins de type dislocations dans un cadre statique. La théorie des dislocations en élasticité linéaire sera décrite et appliquée pour résoudre analytiquement les champs mécaniques induits par ces défauts. Les différentes méthodes de calculs analytiques des champs de contraintes seront exposées en élasticité isotrope ou anisotrope.
• Présentation du tenseur densité de dislocations au sens de Nye et au sens de Kröner. Lien avec la géométrie différentielle (tenseur de Cartan). Mécanique des champs de dislocations : théorie d’Acharya (FDM : « Field Dislocation Mechanics ») et applications numériques de la théorie aux composites et polycristaux métalliques.
• Introduction des défauts cristallins de type désinclinaisons. Calculs de champs de contraintes pour ces défauts. Application aux joints de grains de fortes désorientations.
• Extension de la théorie continue des dislocations aux milieux généralisés. Le calcul de champs de dislocations dans un milieu élastique à gradient sera abordé.
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• Marc Fivel
• Pascale Kanouté
• Jean-Jacques Marigo

Prérequis

- Notions de base en algèbre linéaire et en calcul différentiel.
- Connaissances de base en mécanique des milieux continus et en élasticité linéarisée.
Les cours seront conçus de façon à ce que la mise à niveau préliminaire ne soit pas nécessaire. Ils seront ajustés au niveau des connaissances réelles des stagiaires. Les notions mathématiques avancées seront introduites au fur et à mesure des besoins.

Programme

L'arrivée des participants est prévu dimanche le 13 septembre vers le cocktail de bienvenue et le dîner. Le dernier cours aura lieu samedi le 19 septembre avant le déjeuner.